Inducción Matemática para demostrar formulas y propiedades.

♠ Publicado por: Ramón R Feliciano
El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de varios pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.

Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenido del presente trabajo de investigación.

1° ) Se comprueba para n = 1 ( Comprobación ) .

2° ) Se asume que se cumple para n = k ( Hipótesis de inducción ) .

3° ) Se predice que se cumple para n = k + 1 ( Tesis ) .

4° ) Se demuestra que si se cumple para n = k , entonces se cumple para n = k + 1 ( Demostración ) .

Ejemplo:

Demuestre por inducción matemática que:

2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 n – 2 ) = 2 n 2

Paso # 1) 
Sea n = 1 , entonces:

4 n – 2 = 2

2 n 2 = 2 ( Verdadero ) .

Paso # 2 ) 
Sea n = k , entonces:

2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) = 2 k 2 ( Hipótesis de inducción ) .

Paso # 3 ) 
Sea n = k + 1 , entonces:

2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 ( k + 1 ) 2 ( Tesis ) .

Paso # 4 ) 
Demostración:

2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) = 2 k 2 ( Por hipótesis de inducción ) .

2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 k 2 + ( 4 ( k + 1 ) – 2 )

2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 k 2 + 4 k + 2

Por lo tanto 2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 ( k + 1 ) 2

VÍDEOS RESUELTOS.
VÍDEOS RESUELTOS.

Buen libro de Química Orgánica.

♠ Publicado por: Ramón R Feliciano en
Además del desarrollo de los contenidos, al término de cada una de las unidades temáticas,
se presenta una serie de ejercicios de autoevaluación con el propósito de que los estudiantes
confronten y/o reafirmen sus aprendizajes.


Algunas Unidades

Unidad I:  Química del carbono
-Características del carbono
-Configuración electrónica y estructura de Lewis -
-Los enlaces del carbono (hibridaciones s y sp).
-Isomería.
-Fórmulas moleculares, estructurales y gráficas. 
Unidad II: Funciones Químicas Orgánicas.
-Nomenclatura... un poco de historia.
-Hidrocarburos.
-Alcanos.
-Nomenclatura de alcanos normales.
-Tipos de átomos de carbono.
-Grupos alquílicos.
UNIDAD III: Reacciones Químicas Orgánicas.
¿Cómo ocurren las reacciones químicas orgánicas?
Ruptura homolítica.
Ruptura heterolítica.
Tipos de reacciones químicas orgánicas.

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Peso: 9.96 mb



Buen libro que reúne las materias de Álgebra, trigonométria y geometría.

♠ Publicado por: Ramón R Feliciano en
Álgebra, trigonométria y geometría 
es un buen libro para comenzar a fortalecer la base en en area de Álgebra, trigonométria y geometría.
Algunas Unidades
Unidad: Lógica y conjuntos.
-Enunciados y valor de verdad 2
-Proposiciones simples y compuestas 4
-Proposiciones lógicamente equivalentes 11
-Argumentos 14
-Cuantificadores 19
-Conjuntos y elementosUnidad: Conceptos fundamentales de álgebra.
-El sistema de los números reales 48
-La recta de los números reales 58
-Exponentes enteros 64
-Radicales 71
-Exponentes racionales 78
 Unidad: Funciones y gráfica.
-Funciones y gráficas 200
-Simetría y transformaciones 208
-Funciones lineal y cuadrática 218
-Funciones definidas por partes 228

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Peso: 14.7 mb




En la Prueba PISA a muchos países de América Latina les va muy mal, ¿Por qué?.

♠ Publicado por: Ramón R Feliciano en
Los resultados PISA vuelven a animar el debate sobre el estado de la educación latinoamericana. En efecto, los ocho países de la región participantes en este examen (Argentina, Brasil, Chile, Costa Rica, Colombia, México, Perú y Uruguay) califican dentro del 25 por ciento de más bajo rendimiento entre los 65 países participantes.
"Es imperativo que la educación sea de similar calidad para todos. En esto reside el mayor desafío para la región".
Aunque entre ellos hay significativas diferencias de resultados, ninguno muestra niveles satisfactorios de logro. Chile, el más aventajado de los países del grupo latinoamericano, exhibe un rendimiento promedio que equivale a un año menos de escolarización que en España y Portugal, 2 años menos que en Suiza y 3 años menos que en Singapur. Son brechas sustanciales que es imprescindible enfrentar.
Para ello lo primero es identificar las causas que explican este atraso. Según muestra la evidencia disponible, éstas son de dos tipos.

Por un lado, el contexto socioeconómico y cultural de los países latinoamericanos es adverso. Hay más pobreza, desigualdades y desintegración comunitaria que en las sociedades desarrolladas, pero se gasta menos en educación, en el cuidado de los niños y en la formación de profesores.

Hay más violencia en los hogares y los padres tienen un menor nivel educacional. Muchos más niños y niñas viven vidas más difíciles en América Latina, en entornos hostiles, que sus pares de los países europeos. Y, a diferencia de lo que ocurre en un número de países del Asia donde la educación tiene un alto valor cultural y goza del apoyo absoluto de las familias.

Por otro lado, La infraestructura y el equipamiento de los colegios suelen ser precarios; el uso de tecnologías digitales limitado o inexistente; el tiempo dedicado al aprendizaje escaso; la disciplina excesivamente autoritaria o ausente, y las políticas educativas de los gobiernos son inestables, mal diseñadas a veces y su implementación y efectos poco evaluados.
Evidentemente cada uno de los países de la región sigue una trayectoria distinta, según muestra PISA. Por ejemplo, durante la última década Brasil exhibe una trayectoria moderadamente ascendente en lenguaje, matemática y ciencias; por el contrario, Uruguay retrocede en los mismos tres dominios. Chile y México avanzan gradualmente al menos en dos de estos dominios; Colombia los sigue algo más atrás. Argentina se halla estancada. Perú aparece a la cola a pesar de haber mejorado en el dominio de comprensión lectora durante la década pasada. Costa Rica recién comienza a participar en la prueba PISA de modo que no hay todavía un registro de su evolución.

¿Qué pueden aprender los países latinoamericanos de la experiencia de otros países que participan en este examen y de la evidencia producida por la investigación educacional?
En primer lugar, que es posible mejorar resultados del aprendizaje, pero que para lograrlo se requiere un esfuerzo concertado de la nación: del gobierno y los colegios, de las familias y autoridades locales, de los empresarios y universidades, de la sociedad civil y organizaciones no gubernamentales y, prioritariamente, de los docentes y sus alumnos. Se requieren políticas de largo plazo, estables, coherentes y dotadas de suficientes recursos


En seguida, la experiencia muestra que para mejorar la calidad de los aprendizajes América Latina necesita hacer un esfuerzo extraordinario de equidad educacional. No hay otro camino. La educación debe compensar las desigualdades de la cuna y para esto los países necesitan entregar atención temprana y jardines infantiles de calidad para la población más vulnerable.

Todo esto obliga a invertir más y mejor en educación. En promedio, América Latina ha aumentado el gasto público en relación al PIB durante la última década. Pero el gasto por alumno es bajo aun y hay recursos que se usan con escasa eficiencia. Evidentemente, no se trata de convertir a los colegios en empresas ni puede esperarse que el mero hecho de aumentar el gasto traiga consigo mejores resultados.
Debe incrementarse el gasto pero, al mismo tiempo, importa mejorar la gestión, elevar los estándares y las exigencias, hacer efectiva la rendición de cuentas, generar un más fuerte control por parte de la comunidad y crear redes de apoyo para las escuelas, especialmente las más rezagadas.

En suma, PISA 2012 debe servir en América Latina no solo para construir rankings efímeros y hacer comparaciones deprimentes entre países de alto y mediano desarrollo si no para generar nueva información y conocimiento que ayude a mejorar el trabajo de los profesores en la sala de clase, de los directores en sus escuelas y de los políticos y académicos al momento de diseñar reformas e impulsar programas de innovación pedagógica".

*José Joaquín Brunner es profesor del Centro de Políticas Comparadas de Educación en la Universidad Diego Portales, Chile, y es considerado una autoridad mundial en educación.

 FUENTE:: BBC-COM


Finlandia pierde terreno y ocupa el puesto 12 en matemáticas.

♠ Publicado por: Ramón R Feliciano en
Un pequeño país del norte europeo con poco más de cinco millones de habitantes ha sido ejemplo en educación para otras naciones por más de una década.

¿Pero sigue siendo Finlandia el sistema exitoso al que América Latina y otras regiones deben aspirar? ¿O es hora de buscar inspiración en Asia?

La caída de Finlandia en ránkings internacionales como las pruebas PISA ha llevado a algunos autores a decir que es hora de "dejar de creer en cuentos de hadas finlandeses".

"Cuentos de hadas"

Finlandia encabezó en 2000, 2003 y 2006 las pruebas PISA, que comparan el desempeño en matemáticas, ciencia y lectura de medio millón de alumnos de 15 años en 65 países y son realizadas por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE).

Sin embargo, en los últimos resultados divulgados, el de los tests de 2012, Finlandia no está entre los primeros 10 en matemáticas. Los ocho lugares top son ocupados por sistemas asiáticos (Shanghái, Singapur, Hong Kong, Taiwán, Corea del Sur, Macao y Japón).

Para Gabriel Heller Sahlgren, director de investigaciones del Centro para el Estudio de Reformas de Mercado en Educación (CMRE), con sede en Londres, el sistema finlandés está en declive.

En un estudio publicado por un centro de análisis de derecha, el Centre for Policy Studies, Sahlgren señala que el éxito de Finlandia en años anteriores no fue producto del sistema actual sino legado del sistema centralizado implantado hace cuatro décadas.

"Es simplista mirar al actual sistema de educación finlandés sin ver su historia", dijo Sahlgren. En lugar de diferenciarse de los centralizados sistemas asiáticos, Finlandia hizo hace 40 años precisamente lo que hoy hacen muchas naciones emergentes: invertir masiva y centralizadamente en educación.
Otros autores cuestionan los "mitos de la educación finlandesa". Tim Oates, del centro de preparación y evaluación de exámenes Cambridge Assessment, de la Universidad de Cambridge, es autor de un estudio titulado "Cuentos de hadas finlandeses".

Oates advierte al igual que Sahlgren que los buenos resultados logrados en Finlandia en 2000 son producto no de la autonomía con que suele asociarse al sistema finlandés, sino de reformas implantadas en la década de los 70 y 80.
Maestros con maestría
Pero América Latina aún debe mirar a Finlandia.
Lo asegura alguien que visitó numerosas escuelas finlandesas y conoce además el sistema de un nuevo tigre en educación, Singapur.

Para Leonor Varas, un aspecto clave en Finlandia es la formación de los profesores, que tanto en primaria como secundaria deben tener nivel de maestría.

"Es un sistema centralizado y la formación de los profesores en las 10 universidades que forman profesores es muy similar", dijo Varas a BBC Mundo.

Maestros con maestría

Pero América Latina aún debe mirar a Finlandia.
Lo asegura alguien que visitó numerosas escuelas finlandesas y conoce además el sistema de un nuevo tigre en educación, Singapur.
Para Leonor Varas, un aspecto clave en Finlandia es la formación de los profesores, que tanto en primaria como secundaria deben tener nivel de maestría.
"Es un sistema centralizado y la formación de los profesores en las 10 universidades que forman profesores es muy similar", dijo Varas a BBC Mundo.

FUENTE: ww-bbc-com


Se ganó 600,000 euros por resolver un acertijo del año 1637.

♠ Publicado por: Ramón R Feliciano en
El matemático británico Andrew J. Wiles ha sido recompensado hoy con 600.000 euros por solucionar un acertijo garabateado en el margen de un libro hace casi cuatro siglos.

El enigma se remontaba al año 1637. Entonces, el matemático francés Pierre de Fermat escribió en una página de un volumen de su biblioteca el que hoy es uno de los teoremas más famosos de la historia, protagonista incluso de un capítulo de la serie Los Simpson. El teorema sostenía que la igualdad xn + yn = zn es imposible si n es un número entero mayor que 2 y las tres letras son números enteros positivos. “He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla”, presumía Fermat en su anotación.
El matemático Andrew Wiles.
La demostración, efectivamente, existía, pero tardó más de 350 años en encontrarse. Hasta que el matemático Andrew J. Wiles anunció en 1995 que había resuelto el llamado Último Teorema de Fermat, impermeable a los mejores cerebros de la disciplina durante cientos de años. La Academia Noruega de Ciencias y Letras ha concedido hoy a Wiles el premio Abel, dotado con 600.000 euros y considerado el Nobel de las matemáticas. La institución ha elegido a Wiles por su “impresionante demostración del Último Teorema de Fermat, mediante la conjetura de modularidad para las curvas elípticas semiestables, que abrió una nueva era en la teoría de números”. La frase da una idea de la complejidad del logro.

Wiles descubrió el acertijo de 1637 en un libro de la biblioteca de su barrio, cuando solo tenía 10 años. El niño se sorprendió al ser capaz de entender su enunciado, pese a que el volumen recalcaba que llevaba más de tres siglos sin solución, según destaca la academia noruega en un comunicado. Era 1963 y el chaval decidió dedicarse a las matemáticas. “Supe desde ese momento que nunca abandonaría el problema. Tenía que resolverlo”, ha declarado Wiles, hoy investigador en la Universidad de Oxford.
Homer Simpson aparecía en un capítulo de 1995 —tras el anuncio de Wiles— deambulando por otra dimensión, rodeado por la expresión 178212 + 184112 = 192212, un contraejemplo que aparentemente tumbaba el Último Teorema de Fermat si se hacía la suma en una calculadora normal. Con un aparato más potente, el resultado cambiaba a partir de la décima cifra. Fermat tenía razón, como solo supo demostrar Wiles.
FUENTE: El Pais.



Estudiantes dominicanos crean Mosaico para generar electricidad.

♠ Publicado por: Ramón R Feliciano en
República Dominicana: Un grupo de estudiantes de término de la carrera de ingeniería eléctrica del Instituto Tecnológico de Santo Domingo (INTEC) diseñó un mosaico que permite aprovechar la energía solar que incide en las áreas peatonales y espacios públicos para producir energía limpia.
Los jóvenes Federico Tavárez, Emilio Irizarry, Julio César Muñoz, Enmanuel Minaya y Oscar Pérez esperan que su invención se coloque en los espacios de circulación peatonal en calles y aceras, con el objetivo de aumentar la generación eléctrica del país con fuentes alternativas a los combustibles fósiles.
El prototipo funcional de la baldosa consta de una celda solar cubierta con vidrio templado. La baldosa fue elaborada con un material antideslizante de alta resistencia, que soporta hasta 840 libras de peso, y genera un promedio de 28.2 vatios de potencia o 0.028 kilovatios hora (suficiente para suplir la demanda energética de la iluminación led de cinco habitaciones pequeñas).
Al referirse a la baldosa, el profesor del Área de Ingenierías de INTEC, Miguel Aybar, indicó que constituye una importante innovación en el país ya que las empresas que se dedican a desarrollar ese tipo de tecnología hacen la mayoría de sus instalaciones en techos y estructuras aéreas.
Explicó que en otros países este tipo de aplicación de baldosa o piso solar está tomando mayor enfoque de estudio e innovación, ya que se desea lograr instalar más paneles solares en áreas en las que no se afecte el uso del suelo o no haya necesidad de alterar estructuras arquitectónicas.
“Es un proyecto que en un futuro pudiera aplicarse en el país, ya que estudios de la Comisión Nacional de Energía y del Centro de Estudio Internacional Worldwatch han demostrado que la República Dominicana tiene una irradiación solar ideal para ser captada con tecnologías fotovoltaicas”, puntualizó Aybar.

Al presentar el proyecto, los estudiantes explicaron que el mosaico resolvería uno de los principales problemas que presenta el uso de paneles solares, que es la falta de espacio, pues utilizaría las áreas peatonales para producir energía sin interrumpir el tránsito ni afectar las estructuras.
Los jóvenes iniciaron un proceso de registro de patente funcional.

FUENTE: 7dias.com.do



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